श्रृंखला ( Series )
- अंकीय श्रृंखला इस अध्याय के अन्तर्गत प्रश्न में अंको अथवा अक्षरों (अंग्रेजी) की एक निश्चित श्रृंखला दी होती है जो एक विशेष नियमानुसार होती है हमें उस नियम का पता लगाकर ही अगली संख्या ज्ञात करनी होती है।
- श्रृंखला के प्रश्नों को हल करते समय निम्न बातों का ध्यान रखें
- गणितीय संक्रिया में काम आने वाली महत्वपूर्ण संख्याओं वर्ग संख्या, घन संख्या, अभाज्य संख्या, सम संख्या, विषम संख्या आदि को कण्ठस्थ याद रखे।
वर्ग संख्याएँ
| 12 = 1 | 22 = 4 | 32 = 9 |
| 42 = 16 | 52 = 25 | 62 = 36 |
| 72 = 49 | 82 = 64 | 92 = 81 |
| 102 = 100 | 112 = 121 | 122 = 144 |
| 132 = 169 | 142 = 196 | 152 = 225 |
घन संख्याएँ
| 13 = 1 | 23 = 8 | 33 = 27 |
| 43 = 64 | 53 = 125 | 63 = 216 |
| 73 = 343 | 83 = 512 | 93 = 729 |
| 103 = 1000 | 113 = 1331 | 123 = 1728 |
अभाज्य संख्या –
- ऐसी संख्या जो 1 तथा स्वंय से भाज्य हो अभाज्य संख्या कहलाती है। 1 से 100 तक कुल 25 अभाज्य संख्या होती है।
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,41, 43, 47, 53, 59,61,67, 71,73,79,83,89,97
- श्रृंखला को हल करने के लिए कोई शॉर्ट ट्रिक नहीं है बल्कि इसका निरंतर अभ्यास ही आपको इस अध्याय पर मजबूत पकड़ बनाएगा।
- प्रश्न की भाषा को समझकर प्रश्न को हल करने का प्रयास करे।
- हमारे अनुभव के अनुसार प्रतियोगी परीक्षाओं में अंतर के नियम का सर्वाधिक प्रयोग होता है अतः इस नियम का अधिक से अधिक प्रयोग करें।
महत्वपूर्ण नियम
Rule of Gap (अंतर का नियम)-इस नियम के अनुसार दिए। गए प्रश्न में पहली और दूसरी संख्या का अंतर, दूसरी और तीसरी संख्या का अंतर और आगे भी यही क्रम जारी रखते हुए अंतर की श्रृंखला का समूह ज्ञात करके उसी आधार पर अगली संख्या प्राप्त की जाती है। इस नियम के उदाहरण अग्रांकित है |
योग का नियम
उदाहरण : 5,9,14, 20, 27, ?
(a) 32 (b) 34 (c) 35 (d) 37
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दी गई श्रृंखला क्रमशः बाये से दायें 4, 5,6, 7,…के अन्तर से बढ़ रही है।
अन्तर निम्न प्रकार भी हो सकते है।
(i) +1, +4, +9, +16…… लगातार प्राकृत संख्या के वर्गों का अन्तर
(ii) +2, +4, +6, +8…… लगातार सम संख्याओ का अन्तर
(iii) +1, +3, +5, +7…… लगातार विषम संख्याओ का अन्तर
(iv) +2, +3, +5, +7…… लगातार अभाज्य संख्याओं का अन्तर
घटाव का नियम
उदाहरण : 16, 14, 11,7,?
(a)5 (b)3 (c)2 (d) 1
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अर्थात् दी गई श्रृंखला में क्रमश: बाये से दायें 2,3,4……के अन्तर से घट रही है।
गुणा का नियम
उदाहरण : 2, 6, 18, 54, ?
(a) 162 (b) 150 (c)170 (d) 184
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अर्थात् दी गई श्रृंखला के प्रत्येक पद को 3 से गुणा करके अगला पद प्राप्त किया गया है।
भाग का नियम
उदाहरण : 240, 120, 60, 30,?
(a) 10 (b) 15 (c) 20 (d) 5
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संयुक्त श्रृंखला का नियम-
- इस नियम के अनुसार यदि दिए गए प्रश्न | में अंतर की नियमित श्रृंखला नहीं बनती है तो अंतर की एक और श्रृंखला बनाई जाती है, इसे ही संयुक्त श्रृंखला कहा जाता है।
उदाहरण : 0.7, 26, 63, 124………
(a) 215 (b) 182 (c) 136 (d) 154
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मिश्रित श्रृंखला का नियम-
- इस नियम के प्रश्नों की विशेष पहचान निम्न प्रकार से होती है
a) संख्याएँ 8 से 10 होना।
b) संख्याओं का घटता बढ़ता क्रम।
c) संख्याएँ छोटी व किसी अंक की पुनरावृत्ति होना।
उदाहरण : 4, 28, 6, 26, 8, 24, 10, 22.?
(a) 10 (b)12 ( 8 (d) 10
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अर्थात् दो श्रृंखलाएँ है जिनमें से एक श्रृंखला क्रमशः +2 के क्रम से बढ़ रही है व एक श्रृंखला-2 के क्रम से घट रही है। |
पूर्व पदों के योग का नियम-
इस नियम के अनुसार पिछली दो संख्याओं का योग करके अगला पद ज्ञात किया जाता है।
उदाहरण : 5, 2.7.9.16, 25,?
(a) 41 (b) 52 (c) 48 (d) 45
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प्रत्येक तीसरा पद पिछले दो पदों का योग है।
अन्य उदाहरण
उदाहरण: 3,8, 23, 68,203,?
(a) 846 (b) 967 (c) 608 (d) 1081
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प्रत्येक पद x 3-1 के क्रम से बढ़ रहा है अर्थात, 3×3-1 = 8, 8×3-1 = 23, 68 x 3-1 = 203. इसी प्रकार 203 x 3-1 = 608
अंको की व्यवस्था में परिवर्तन
उदाहरण : 1369.9136, 6913, 3691,?
(a)9163 (b) 6391 c ) 1369 d) 9613
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श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद के आखिरी अंक से शुरु होता है। अत: 3691 = 1369
वर्णमाला श्रृंखला
- इसके अन्तर्गत दिए गए प्रश्न में अंग्रेजी वर्णो की एक निश्चित श्रृंखला दी जाती है अतः इस श्रृंखला में वर्णों को उनके वर्णमाला क्रमांक देकर अंकीय श्रृंखला बनाई जाती है और प्रश्न को हल किया जाता है।
- अंग्रेजी वर्णमाला श्रृंखला अंग्रेजी वर्णमाला 26 अक्षरों को विभिन्न प्रकार की श्रेणियों में क्रमित करके श्रेणी क्रम बनाया जाता है। वर्णमाला के अक्षरों की कोई न कोई एक निश्चित श्रेणी क्रम होती है।
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अंग्रेजी वर्णमाला
A B C D E F G H I J K L M |
उदाहरण- A.D. H. M. ?.
(a) B (b) G (c) S (d) N
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श्रृंखला क्रमश: +2, +3. +4….. के क्रम से बढ़ रही है।
वर्णात्मक श्रेणी क्रम
- इस प्रकार के प्रश्नों में अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की श्रृंखला दी होती है जिनके मध्य के अक्षर छूटे होते है। परीक्षार्थी को दिए गए विकल्पो में से उचित विकल्प को ज्ञात करना होता है। जिससे की चुने गए विकल्पों के आधार पर प्रश्न में एक श्रृंखला बन सके।
महत्वपूर्ण तथ्य
- दी गई श्रृंखला में उपस्थित वर्ण व खाली स्थान की कुल संख्या को गिनकर श्रृंखला को समान भागों में विभाजित कर देते है तथा प्रत्येक श्रृंखला के भाग में उपस्थित वर्ण को अन्य खाली स्थानों पर भरकर श्रृंखला पूरी करते है।
Ex:- ab_aa _a_bc_
(a) bacba (b) abcbb (c) cbcaa (d) cbaabClick to show/hide
हल : C - विभाजन अधिकतर 6/5/4/3 भाग में करे।।
- यदि श्रृंखला में कुल संख्या विषम हो तो अंत के अक्षर को छोड़कर श्रृंखला बनाने का प्रयास करें।
- उपरोक्त नियमों के आधार पर उत्तर प्राप्त ना हो तो दिए गए विकल्पों में से उचित विकल्प भरकर उत्तर प्राप्त करने का प्रयास करें।
- कई बार परीक्षक निम्न आधार पर भी श्रृंखला बना देते है।
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